Gọi giao điểm của \(BH\) và \(CK\) là \(I\).
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}BH\perp AC\\CK\perp AB\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\widehat{IKB}=\widehat{IHC}=90^o\)
Xét \(\Delta IKB\) có \(\widehat{IKB}=90^o\Rightarrow\widehat{KIB}+\widehat{KBI}=90^o\left(t/c\right)\) (1)
Xét \(\Delta IHC\) có \(\widehat{IHC}=90^o\Rightarrow\widehat{HIC}+\widehat{HCI}=90^o\left(t/c\right)\) (2)
Vì \(\widehat{KIB}\) và \(\widehat{HIC}\) là 2 góc đối đỉnh
\(\Rightarrow\widehat{KIB}=\widehat{HIC}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{KBI}=\widehat{HCI}\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)
\(\Rightarrow AB=AC\) (định nghĩa)
& \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(t/c\right)\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{KBC}=\widehat{HCB}\left(cmt\right)\\\widehat{KBI}=\widehat{HCI}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\widehat{KBC}-\widehat{KBI}=\widehat{HCB}-\widehat{HCI}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)
\(\Rightarrow\Delta IBC\) cân tại \(I\)
\(\Rightarrow IB=IC\) (định nghĩa)
Xét \(\Delta IKB\) và \(\Delta IHC\) có:
\(\widehat{IKB}=\widehat{IHC}=90^o\left(cmt\right)\)
\(IB=IC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{KIB}=\widehat{HIC}\left(cmt\right)\)
Nên \(\Delta IKB=\Delta IHC\) (định lý)
\(\Rightarrow KB=HC\) (2 cạnh tương ứng)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(cmt\right)\\KB=HC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AB-KB=AC-HC\)
\(\Rightarrow AK=AH\)
