a) Chứng minh MNCB là hình thang cân
Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB(gt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Xét tứ giác MNCB có MN//BC(cmt)
nên MNCB là hình thang(định nghĩa hình thang)
Hình thang MNCB có \(\widehat{B}=\widehat{C}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên MNCB là hình thang cân(dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
b)
*Tứ giác AHCD là hình gì? Vì sao?
Ta có: AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC cân tại A(H là trung điểm của BC)
nên AH cũng là đường cao ứng với cạnh BC(định lí tam giác cân)
⇒AH⊥BC
Xét tứ giác AHCD có
N là trung điểm của đường chéo AC(gt)
N là trung điểm của đường chéo HD(H và D đối xứng nhau qua N)
Do đó: AHCD là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AHCD có \(\widehat{AHC}=90^0\)(AH⊥BC)
nên AHCD là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
*Tứ giác ADNM là hình gì? Vì sao?
Ta có: MN//BC(cmt)
nên MN//HC(H∈BC)
Ta có: MN//HC(cmt)
HC//AD(hai cạnh đối trong hình chữ nhật ADCH)
Do đó: MN//AD(định lí 3 từ vuông góc tới song song)
Ta có: \(MN=\frac{BC}{2}\)(cmt)
mà \(BH=HC=\frac{BC}{2}\)(H là trung điểm của BC)
nên MN=BH=HC
mà HC=AD(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AHCD)
nên MN=AD
Xét tứ giác AMND có MN//AD(cmt) và MN=AD(cmt)
nên AMND là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
c), d) https://hoidap247.com/cau-hoi/349765
c/Gọi giao điểm HD và MC là K, N,H là tđ AC,BC nên HN//AB mà H là tđ BC nên K là tđ MC
Có BM=ND=1/2AB=1/2AC ( AHCD là hcn).(1)
Ta lại có HN//AB và N là tđ AC nên NK là đ/TB tgiac AMC suy ra NK=1/2AM=1/2BM.(2)
Từ (1) và (2) suy ra NK=1/2 ND mà K là tđ MC nên N là trọng tâm tgiac CMD
d/
Xét tứ giác BMDN có BM=ND( =NC, AHCD là hcn CMT)
Và BM//ND( BM//HD CMT)
\(\Rightarrow BMDN\) là hbh\(\Rightarrow\)MD//BN, lại có N là tđ HD
từ đó suy ra BN đi qua tđ HE
