a) xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có:
\(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}=90^o\)
AH chung
\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)
=> \(\Delta ABH=\Delta AHC\left(CH-GN\right)\)
=> \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (2 góc tương ứng)
b) xét \(\Delta AHN\) và \(\Delta AHM\) có:
\(\widehat{M}=\widehat{N}=90^o\)
AH chung
\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta AHN=\Delta AHM\left(CH-CN\right)\)
=> HN = HM (2 cạnh tương ứng)
=> AN = AM (2 cạnh tương ứng)
\(\Delta AMN\) có: AN = AM (cmt)
=> \(\Delta AMN\) cân tại A
c) đặt điểm giao nhau giữa AH và MN là K
xét \(\Delta AKM\) và \(\Delta AKN\) có:
AK chung
\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\)
AM = AN (\(\Delta AMN\) cân tại A)
=> \(\Delta AKM=\Delta AKN\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}\)
mà 2 góc trên ở vị trí kề bù
=> \(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}=90^o\)
=> MN \(\perp AH\)
mà \(BC\perp AH\)
=> MN // BC (tính chất)
d) áp dụng định lí Py - ta - go vào \(\Delta AHN\left(\widehat{N}=90^o\right)\) có:
AH2 = AN2 + NH2
=> AH2 + BM2 = AN2 + NH2 + BM2 (1)
áp dụng định lí Py - ta - go vào \(\Delta BHM\left(\widehat{M}=90^o\right)\) có:
BH2 = BM2 + MH2
mà MH = NH
=> BH2 = BM2 + NH2
=> AN2 + BH2 = AN2 + BM2 + NH2 (2)
từ (1) và (2) => AH2 + BM2 = AN2 + BH2 (đpcm)
