a) Ta có: BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC trong ΔABC(gt)
nên M là trung điểm của AC
Ta có: CN là đường trung tuyến ứng với cạnh AB trong ΔBAC(gt)
nên N là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
M là trung điểm của AC(cmt)
N là trung điểm của AB(cmt)
Do đó: NM là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
nên NM//BC và \(NM=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Xét ΔYBC có
E là trung điểm của YB(gt)
F là trung điểm của YC(gt)
Do đó: EF là đường trung bình của ΔYBC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
nên EF//BC và \(EF=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)
Từ (1) và (2) suy ra NM//EF và NM=EF
Ta có: \(AN=NB=\dfrac{AB}{2}\)(N là trung điểm của AB)
\(AM=MC=\dfrac{AC}{2}\)(M là trung điểm của AC)
mà AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên AN=NB=AM=MC
Xét ΔANC và ΔAMB có
AN=AM(cmt)
\(\widehat{NAC}\) chung
AC=AB(ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔANC=ΔAMB(c-g-c)
nên CN=BM(Hai cạnh tương ứng)
Xét ΔABC có
BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(gt)
CN là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(gt)
BM cắt CN tại Y(gt)
Do đó: Y là trọng tâm của ΔABC(Định lí ba đường trung tuyến của tam giác)
\(\Rightarrow BY=\dfrac{BM}{2}\) và \(CY=\dfrac{CN}{2}\)
mà BM=CN(cmt)
nên BY=CY
mà \(EY=\dfrac{YB}{2}\)(E là trung điểm của YB)
và \(FY=\dfrac{YC}{2}\)(F là trung điểm của YC)
nên EY=FY
Ta có: YM+BY=BM(Y nằm giữa B và M)
YN+YC=NC(Y nằm giữa N và C)
mà BM=NC(cmt)
và BY=YC(cmt)
nen YM=YN
Ta có: YM+YE=ME(Y nằm giữa M và E)
YN+YF=NF(Y nằm giữa N và F)
mà YM=YN(cmt)
và YE=YF(cmt)
nên ME=NF
Xét tứ giác NMFE có
NM//FE(cmt)
NM=FE(cmt)
Do đó: NMFE là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành NMFE có NF=EM(cmt)
nên NMFE là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Ta có: \(EF=\dfrac{BC}{2}\)(cmt)
mà BC=18(gt)
nên \(EF=\dfrac{18}{2}=9\)(đvđd)
Xét ΔAYB có
N là trung điểm của AB(cmt)
E là trung điểm của BY(cmt)
Do đó: NE là đường trung bình của ΔAYB(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
nên NE//AY và \(NE=\dfrac{AY}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà AY=12
nên \(NE=\dfrac{12}{2}=6\left(đvđd\right)\)
Ta có: NMFE là hình chữ nhật(cmt)
nên \(C_{NMFE}=\left(NE+EF\right)\cdot2=\left(6+9\right)\cdot2=30\left(đvcv\right)\)
