Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy diểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. a CMR tam giác ADE là tam giác cân , b Kẻ BH vuông góc với AD ( H thuộc AD ) , kẻ CK vuông góc với AE ( K thuộc AE ). CMR BH = CK, AH = AK c Gọi I là giao điểm của BH và CK. tam giác IBC là tam giác gì, vì sao? d CMR AI là tia phân giác của góc BAC, e) Khi góc BAC = 60 độ và BD = CE = BC. hãy tính số đo các góc của tam giác ADE và xác định dạng của tam giác IBC mình cần gấp nhanh nhá thank kiu bạn nhìu
a) Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)
Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)ACE có
AB=AC(\(\Delta\)ABC cân tại A)
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)(cmt)
DB=CE(gt)
Do đó: \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)ACE(c-g-c)
⇒AD=AE(hai cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta\)ADE có AD=AE(cmt)
nên \(\Delta\)ADE cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
b) Ta có: \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)ACE(cmt)
\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\)
Xét \(\Delta\)HDB vuông tại H và \(\Delta\)KEC vuông tại E có
DB=CE(gt)
\(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\)(cmt)
Do đó: \(\Delta\)HDB=\(\Delta\)KEC(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒BH=CK(hai cạnh tương ứng)
Ta có: \(\Delta\)HDB=\(\Delta\)KEC(cmt)
⇒HD=KE(hai cạnh tương ứng)
Ta có: AH+HD=AD(do A,H,D thẳng hàng)
AK+KE=AE(A,K,E thẳng hàng)
mà HD=KE(cmt)
và AD=AE(cmt)
nên AH=AK(đpcm)
c) Ta có: \(\widehat{HBD}=\widehat{CBI}\)(hai góc đối đỉnh)(a)
\(\widehat{KCE}=\widehat{BCI}\)(hai góc đối đỉnh)
mà \(\widehat{HBD}=\widehat{KCE}\)(\(\Delta\)HBD=\(\Delta\)KCE)
nên \(\widehat{CBI}=\widehat{BCI}\)
Xét \(\Delta\)IBC có \(\widehat{CBI}=\widehat{BCI}\)(cmt)
nên \(\Delta\)IBC cân tại I(định lí đảo tam giác cân)
d) Xét \(\Delta\)ABI và \(\Delta\)ACI có
AB=AC(\(\Delta\)ABC cân tại A)
AI là cạnh chung
BI=CI(\(\Delta\)IBC cân tại I)
Do đó: \(\Delta\)ABI=\(\Delta\)ACI(c-c-c)
\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(hai góc tương ứng)
mà tia AI nằm giữa hai tia AB,AC
nên AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)
e) Xét \(\Delta\)ABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=60^0\)(đkct)
nên \(\Delta\)ABC đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
⇒AB=AC=BC và \(\widehat{BAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60^0\)(số đo các cạnh và các góc trong \(\Delta\)ABC đều)
mà BD=CE=BC
nên AB=BD=BC=AC=CE
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^0\)(hai góc kề bù)
hay \(\widehat{ABD}=180^0-\widehat{ABC}=180^0-60^0=120^0\)
Xét \(\Delta\)ABD có AB=BD(cmt)
nên \(\Delta\)ABD cân tại B(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{ADB}=\frac{180^0-\widehat{ABD}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong \(\Delta\)ABD cân tại B)
hay \(\widehat{ADB}=\frac{180^0-120^0}{2}=30^0\)
hay \(\widehat{ADE}=30^0\)(1)
Ta có: \(\Delta\)ADE cân tại A(cmt)
⇒\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) và \(\widehat{DAE}=180^0-2\cdot\widehat{ADE}\)(số đo của các góc trong \(\Delta\)ADE cân tại A)(2)
Thay (1) vào (2), ta được
\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=30^0\) và \(\widehat{DAE}=180^0-2\cdot30^0=120^0\)
Ta có: \(\Delta\)HBD vuông tại H(BH⊥AD)
nên \(\widehat{HBD}+\widehat{HDB}=90^0\)(hai góc phụ nhau)
hay \(\widehat{HBD}=90^0-\widehat{HDB}=90^0-30^0=60^0\)(b)
Từ (a) và (b) suy ra \(\widehat{CBI}=60^0\)
Xét \(\Delta\)IBC cân tại I có \(\widehat{CBI}=60^0\)(cmt)
nên \(\Delta\)IBC đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
Vậy: Khi \(\widehat{BAC}=60^0\) và BD=CE=BC thì
\(\widehat{ADE}=30^0\); \(\widehat{AED}=30^0\); \(\widehat{DAE}=120^0\)
và \(\Delta\)IBC đều
