Question

Cho tam giác ABC cân tại A, trên BC lấy M. Vẽ ME, MF vuông góc với AC, AB. Kẻ đường cao CH. Chứng minh ME+ MF không thay đổi khi m di động trên BC

Answer 1

Kẻ CK vuông góc với đường thằng FM.

Tứ giác HCKF có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Xét ∆FMB và ∆KMC:

\(\widehat{BFM}=\widehat{CKM}=90^o\)

\(\widehat{FMB}=\widehat{KMC}\) (2 góc đối đỉnh)

=> ∆FMB~∆KMC (g.g)

=> \(\widehat{FBM}=\widehat{KCM}\)

Xét ∆ECM và ∆KCM:

MC: cạnh chung

\(\widehat{ECM}=\widehat{KCM}\left(=\widehat{FBM}\right)\)

\(\widehat{CEM}=\widehat{CKM}=90^o\)

=> ∆ECM=∆KCM (ch.gn)

=> ME=MK (2 cạnh tương ứng)

Ta có: MF+ME=MF+MK=FK

Mà HCKF là hình chữ nhật(cmt) nên FK=CH

=> MF+ME=CH

Vì ∆ABC không đổi nên CH không đổi, từ đó suy ra tổng MF+ME không đổi khi M di chuyển trên BC.