a) Xét \(\Delta ADE\) có :
AD = AE (gt)
=> \(\Delta ADE\) cân tại A
Ta có: \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta ABC\) cân tại A(gt) có :
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> DE // BC (đpcm)
b) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(\Delta ABCcân\right)\\AD=AE\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AD+BD\\AC=AE+EC\end{matrix}\right.\)
Suy ra : BD = EC
Xét \(\Delta DBC;\Delta EBC\) có :
\(BD=CE\left(cmt\right)\)
\(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\) (tam giác ABC cân tại A)
BC: Chung
=> \(\Delta DBC=\Delta EBC\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\) (2 góc tương ứng)
Xét \(\Delta BIC\) có :
\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\) (do \(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\))
=> \(\Delta BIC\) cân tại I (đpcm)
c) Ta dễ dàng chứng minh được : \(\Delta ADI=\Delta AEI\left(c.g.c\right)\)
Từ đó có : \(\widehat{DAI}=\widehat{EAI}\) (2 góc tương ứng)
Suy ra : AI là tia phân giác của \(\widehat{DAE}\)
Mặt khác : Tam giác DAE là tam giác cân
=> AI đồng thời là đường trung trực trong \(\Delta DAE\)
Do đó : \(AI\perp DE\left(đpcm\right)\)
