cho tam giác ABC cân tại A lấy M là trung điểm của đoạn BC.
Câu a) chứng minh tam giác ABM=tam giác ADM.
Câu b) vẽ MD vuông góc với AB (M thuộc AB) và kẽ ME vuông góc với AC.Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân và AD song song với AE.
Câu c) qua D vẽ đường thẳng song song với AM, đường thẳng này cắt EM tại K. Chứng minh EK=MD
a) Xét \(\Delta\)ABM và \(\Delta\)ACM có
AB=AC(\(\Delta\)ABC cân tại A)
AM là cạnh chung
MB=MC(M là trung điểm của BC)
Do đó: \(\Delta\)ABM=\(\Delta\)ACM(c-c-c)
b)Ta có: \(\Delta\)ABM=\(\Delta\)ACM(cmt)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\)
Xét \(\Delta\)ADM vuông tại D và \(\Delta\)AEM vuông tại E có
AM là cạnh chung
\(\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\)(cmt)
Do đó: \(\Delta\)ADM=\(\Delta\)AEM(cạnh huyền-góc nhọn)
\(\Rightarrow\)AD=AE(hai cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta\)ADE có AD=AE(cmt)
nên \(\Delta\)ADE cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong \(\Delta\)ADE cân tại A)(1)
Ta có: \(\Delta\)ABC cân tại A(gt)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong \(\Delta\)ABC cân tại A)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ADE}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên DE//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
c) Sửa đề: chứng minh DM=MK
Từ E kẻ đường thẳng EO song song với AM
Gọi N là giao điểm của DK và BM
Gọi I là giao điểm của MC và EO
Ta có: DK//AM(gt)
EO//AM(theo cách gọi)
Do đó: EO//DK(định lí 3 từ vuông góc tới song song)
Ta có: AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC của \(\Delta\)ABC cân tại A(gt)
nên AM cũng là đường cao ứng với cạnh BC(định lí tam giác cân)
\(\Rightarrow AM\perp BC\)
Ta có: \(AM\perp BC\)
AM//DK//EO
nên DK\(\perp\)BC và EO\(\perp\)BC
Ta có: DK\(\perp\)BC(cmt)
\(\Rightarrow\)DK\(\perp\)BM
Ta có: EO\(\perp\)BC(cmt)
nên EO⊥MC
Ta có: AD+DB=AB(A,D,B thẳng hàng)
AE+EC=AC(do A,E,C thẳng hàng)
mà AB=AC(\(\Delta\)ABC cân tại A)
và AD=AE(cmt)
nên BD=EC
Xét \(\Delta\)DNB vuông tại B và \(\Delta\)EIC vuông tại I có
BD=EC(cmt)
\(\widehat{DBN}=\widehat{ECI}\)(hai góc ở đáy của \(\Delta\)ABC cân tại A)
Do đó: \(\Delta\)DNB=\(\Delta\)EIC(cạnh huyền-góc nhọn)
\(\Rightarrow\)NB=IC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: BN+NM=BM(do B,N,M thẳng hàng)
CI+MI=CM(do C,I,M thẳng hàng)
mà BM=CM(do M là trung điểm của BC)
và NB=IC(cmt)
nên NM=MI
Xét \(\Delta\)MNK vuông tại N và \(\Delta\)EMI vuông tại I có
NM=MI(cmt)
\(\widehat{NMK}=\widehat{EMI}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: \(\Delta\)MNK=\(\Delta\)EMI(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
⇒MK=EM(hai cạnh tương ứng)
mà DM=ME(\(\Delta\)ADM=\(\Delta\)AEM)
nên MD=MK
