Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D,E F lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB.
â) CMR: BCFF là hình thang cân ,BCEF là hình bình hành.
b) BE cắt CF o G .Về các điểm M,N sao cho E là trung điểm của GN .F là trung điểm của GN .CMR:BCNM là hình chữ nhật ,AMGN lá hình thoi.
c) CMR: AMBN là hình thang .Nếu AMBN là hình thaang cận thì tam giác ABC cần thêm đặc điểm gì?
a) Ta có: △ABC cân tại A⇒ ^ABC=^ACB (1)
Xét ΔABC có: AF=BF (gt)
và AE=CE (gt)
⇒EF là dường trung bình của ΔABC
⇒EF=\(\dfrac{BC}{2}\) (gt) (2)
và EF//BC (3)
Từ (3) ⇒ Tg BCEF là hình thang (4)
Từ (1) và (4)⇒Tg BCEF là hình thang cân (*)
Mà BD=CD=\(\dfrac{BC}{2}\)(gt) (5)
Từ (2), (3) và (5) ⇒Tg BEFD là hình bình hành.
b) Xét ΔMGN có: MF=GF (gt)
và NE=GE (gt)
⇒EF là đường trung bình của ΔMGN
⇒EF=\(\dfrac{MN}{2}\) (6)
và EF//MN
Từ (2), (3) và (6) ⇒MN=BC
và MN//BC
⇒Tg BCNM là hình bình hành (**)
Ta có: NE=GE=\(\dfrac{GN}{2}\) (gt) (7)
và GF=MF=\(\dfrac{GM}{2}\) (gt) (8)
Mà: AE=CE (gt)
và AF=BF (gt)
BE\(\cap\)CF={G}
⇒G là trọng tâm của ΔABC
⇒ GE= \(\dfrac{1}{2}\)BG (9)
GF=\(\dfrac{1}{2}\)CG (10)
CG=\(\dfrac{2}{3}\)CF (11)
BG=\(\dfrac{2}{3}\)BE (12)
Từ (7), (8), (9) và (10)⇒BG=GN
và CG= GM
⇒ BN=2BG (13)
và CM=2CG
Từ (*)⇒BE=CF (14)
Từ (11), (12) và (14)⇒BG=CG (15)
Từ (13) và (15)⇒BN=CM (16)
Từ (**) và (16)⇒Tg BCNM là hình chữ nhật (hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật)
Ta lại có: MG=CG=\(\dfrac{MC}{2}\) (gt)
AE=CE=\(\dfrac{AC}{2}\) (gt)
⇒GE là đường trung bình của ΔAMC
⇒GE=\(\dfrac{MA}{2}\) (17)
và GE//MA (18)
Mà: NE=GE=\(\dfrac{NG}{2}\) (19)
Từ (18) và (19)⇒GN=AM (20)
Từ (17)⇒GN=MA (21)
Từ (20) và (21)⇒Tg AMGN là hình bình hành (22)
Ta có: GN=\(\dfrac{BM}{2}\) (23)
và GM=\(\dfrac{CM}{2}\)
Từ (16) và (23)⇒GN=GM (24)
Từ (22) và (24)⇒Tg AMGN là hình thoi
⇒AM//GN
Mà BG=MN⇒AM=BN⇒AMBN là hình thoi (25)
c) Ta có: AMBN là hình thang cân⇒AB=MN (26)
Mà MN=BC (27)
(vì BCNM là hình chữ nhật)
Từ (26) và (27)⇒AB=BC
⇒AB=BC=AC (vì ΔABC cân tại A)
⇒ΔABC đều
Vậy nếu tg AMBN là hình thang cân thì ΔABC đều.
