Question

Cho tam giác ABC cân tại A (góc A<90độ). Kẻ tia phân giác của góc BAC cắt BC tại H (H thuộc BC)

a) C/m tam giác ABH = tam giác ACH.

b) Kẻ tung tuyến BD cắt AH tại G. C/m G là trọng tâm của tam giác ABC.

c)Cho AB=15cm, BH=9cm. Tính độ dài cạnh AG.

d) Qua H kẻ đường song song với AC cắt AB tại E. C/m C,G,E thẳng hàng.

Answer 1

a, xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có

AH chung

\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\) ( AH là đường pg của \(\widehat{BAC}\) )

AB = AC ( \(\Delta\) ABC cân tại A )

=> \(\Delta ABH=\Delta ACH\) (cgc)

b, \(\Delta ABC\) cân tại A

=> AH là đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)

\(\Delta ABC\) có BD và AH là 2 đường trung tuyến và BD \(\cap\) AH = G

=> G là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

c, \(\Delta ABC\) cân tại A

=> AH là đường phân giác đồng thời là đường cao của \(\Delta ABC\)

áp dụng định lý Py ta go vào \(\Delta ABH\) vuông tại H

AB² = AH² + BH²

15² = AH² + 9²

=> AH ² = 144

=> AH = 12 cm

G là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

=> AG = \(\dfrac{2}{3}AH=\dfrac{2}{3}.12=8cm\)

d, EH // AC

=> \(\widehat{EHA}=\widehat{HAC}\) ( slt)

mà \(\widehat{HAC}=\widehat{HAB}\)

=> \(\widehat{EHA}=\widehat{HAB}\)

=> \(\Delta EHA\) cân tại E => EA = EH (1)

EH // AC

=> \(\widehat{ACB}=\widehat{EHB}\) ( đồng vị )

mà \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\) ( \(\Delta ABC\) cân tại A )

=> \(\widehat{EHB}=\widehat{ABC}\) => \(\Delta EBH\) cân tại E

=> EH = EB ( 2 )

từ (1) ( 2) => EA = EB

hay E là trung điểm của AB

=> CE là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)

mà G là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

=> C , G , E thẳng hàng