Xét \(\Delta\)ABC cân tại A có AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)
nên AH là đường phân giác ứng với cạnh BC(định lí tam giác cân)
\(\Leftrightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)
hay \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)
Xét \(\Delta\)BAI và \(\Delta\)CAI có
BA=CA(\(\Delta\)ABC cân tại A)
\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(cmt)
AI là cạnh chung
Do đó: \(\Delta\)BAI=\(\Delta\)CAI(c-g-c)
\(\Rightarrow\)BI=CI(hai cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta\)BCI có BI=CI(cmt)
nên \(\Delta\)BCI cân tại I(định nghĩa tam giác cân)
Để \(\Delta\)BCI đều thì \(\widehat{BIC}=60^0\)
mà IH là tia phân giác của \(\widehat{BIC}\)(IH là đường cao ứng với cạnh đáy BC của \(\Delta\)BCI cân tại I)
nên \(\widehat{HIB}=30^0\)
mà \(\widehat{HIB}=\widehat{AIK}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{AIK}=30^0\)
Xét \(\Delta\)AIK vuông tại K có \(\widehat{AIK}+\widehat{KAI}=90^0\)(hai góc phụ nhau)
hay \(\widehat{CAH}=90^0-30^0=60^0\)
mà \(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{CAH}\)(AH là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))
nên \(\widehat{BAC}=2\cdot60^0=120^0\)
Vậy: Khi \(\Delta\)ABC có thêm điều kiện \(\widehat{BAC}=120^0\) thì \(\Delta\)BCI đều
Làm
\(\Delta ABC\) cân tại A có AH là đường cao (gt)
\(\Rightarrow AH\) là đường trung trực \(\Delta ABC\)
mà I thuộc AH \(\Rightarrow\)IB= IC
\(\Rightarrow\Delta BCIc\text{â}nt\text{ại}I\)
Để \(\Delta BCI\) đều thì \(\widehat{IBC}=60^0\)
mà \(\widehat{IBC}=\widehat{HAC}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))
=> \(\widehat{HAC}=60^0\)
mà \(\Delta ABC\)cân tại A có AH đường cao nên cũng là đường phân giác
\(\Rightarrow\widehat{BAC}=2.\widehat{HAC}=120^0\)
Vậy để \(\Delta BCI\) đều thì \(\Delta\)ABC cân tại A và có\(\widehat{BAC}=120^0\)
