a)
Xét ΔMAB và ΔMAC có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)(AM là đường phân giác ứng với cạnh BC của ΔABC)
AM chung
Do đó: ΔMAB=ΔMAC(c-g-c)
⇒MB=MC(hai cạnh tương ứng)
mà M nằm giữa hai điểm B và C
nên M là trung điểm của BC
Xét ΔCAB có
M là trung điểm của BC(cmt)
MN//AB(gt)
Do đó: N là trung điểm của AC(định lí 1 đường trung bình của tam giác)
Ta có: ΔMAB=ΔMAC(cmt)
⇒\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
\(\Rightarrow AM\perp BC\)
Ta có: ΔAMC vuông tại M(AM⊥BC)
mà MN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(N là trung điểm của AC)
nên \(MN=\frac{AC}{2}\)(định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(AN=NC=\frac{AC}{2}\)(N là trung điểm của AC)
nên MN=AN=NC
Xét ΔAMN có NA=NM(cmt)
nên ΔAMN cân tại N(định nghĩa tam giác cân)
\(\Rightarrow\widehat{NAM}=\widehat{NMA}\)(hai góc ở đáy)
b) Xét ΔNMC có NM=NC(cmt)
nên ΔNMC cân tại N(định nghĩa tam giác cân)
c) Sửa đề: Gọi O là giao điểm của BN và AM
Xét ΔABC có
BN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(N là trung điểm của AC)
AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(M là trung điểm của BC)
BN\(\cap\)AM={O}
Do đó: O là trọng tâm của ΔABC(tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
⇒\(OA=\frac{2}{3}AM\)(tính chất của trọng tâm trong tam giác)
Ta có: OA+OM=AM(O nằm giữa A và M)
\(\Rightarrow\frac{2}{3}AM+OM=AM\)
hay \(OM=AM-\frac{2}{3}AM=\frac{1}{3}AM\)
Ta có: \(\frac{OM}{OA}=\frac{\frac{1}{3}AM}{\frac{2}{3}AM}=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)
hay \(OM=\frac{1}{2}\cdot OA\)(đpcm)
