a) Vì đường tròn (O) có AH là đường kính(gt)
nên O là trung điểm của AH
⇒OA=OH=R
Ta có: ΔEAH vuông tại E(HE⊥AC)
mà EO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(O là trung điểm của AH)
nên \(EO=\frac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(OA=OH=\frac{AH}{2}=R\)(O là trung điểm của AH)
nên OE=OA=OH=R
⇒E∈(O)
b) Xét ΔOEH có OE=OH(cmt)
nên ΔOEH cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{OHE}=\widehat{OEH}\)(hai góc ở đáy của ΔOEH cân tại O)
mà \(\widehat{OHE}=\widehat{BHD}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{OEH}=\widehat{BHD}\)
mà \(\widehat{BHD}+\widehat{HBD}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau của ΔHBD vuông tại D)
nên \(\widehat{OEH}+\widehat{HBD}=90^0\)(1)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
mà AD là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)
nên AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)
⇒D là trung điểm của BC
Xét ΔBEC vuông tại E có ED là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(D là trung điểm của BC)
nên \(ED=\frac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(BD=\frac{BC}{2}\)(D là trung điểm của BC)
nên ED=BD
Xét ΔEBD có ED=BD(cmt)
nên ΔEBD cân tại E(Định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{DEB}=\widehat{DBE}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{OEH}+\widehat{DEB}=90^0\)
hay \(\widehat{OED}=90^0\)
⇒DE⊥OE
mà OE là bán kính của (O)(Vì OE=R)
nên DE là tiếp tuyến của (O)
