Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
phóng khoáng

Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BE và CD. Trên tia đối của tia EB lấy I sao cho EI=EB. Trên tia đối của tia DC lấy K sao cho DK=DC a) Chứng minh : A là trung điểm KI b) Cho BK và CI cắt nhau tại F. CMR : BI,CK,FA đồng quy tại G c) Cho FA và BC cắt nhau tại P. CMR : GP=1/4GF Giúp mình với !

Nguyễn Lê Phước Thịnh
30 tháng 5 2020 lúc 22:24

a)

Ta có: EB=EI(gt)

mà E nằm giữa hai điểm B và I

nên E là trung điểm của BI

Xét tứ giác AICB có

E là trung điểm của đường chéo AC(BE là đường trung tuyến ứng với cạnh AC trong ΔABC)

E là trung điểm của đường chéo BI(cmt)

Do đó: AICB là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒AI=BC và AI//BC(hai cạnh đối trong hình bình hành AICB)(1)

Ta có: DC=DK(gt)

mà D nằm giữa K và C

nên D là trung điểm của KC

Xét tứ giác AKBC có

D là trung điểm của đường chéo KC(cmt)

D là trung điểm của đường chéo AB(CD là đường trung tuyến ứng với cạnh AB của ΔABC)

Do đó: AKBC là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒AK//BC và AK=BC(hai cạnh đối trong hình bình hành AKBC)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AK=AI(3)

Từ (1) và (2) suy ra AK//AI

mà AK và AI có điểm chung là A

nên K,A,I thẳng hàng(4)

Từ (3) và (4) suy ra A là trung điểm của KI(ddpcm)

b) Sửa đề: Chứng minh BI,CK,FA đồng quy tại một điểm

Ta có: AC//KB(hai cạnh đối trong hình bình hành ACBK)

mà F∈KB

nên AC//KF

Xét ΔIKF có

A là trung điểm của KI(cmt)

AC//KF(cmt)

Do đó: C là trung điểm của IF(định lí 1 đường trung bình của tam giác)

Ta có: CB//AK(cmt)

mà I∈AK

nên CB//KI

Xét ΔFIK có

C là trung điểm của FI(cmt)

CB//KI(cmt)

Do đó: B là trung điểm của KF(định lí 1 đường trung bình của tam giác)

Xét ΔFKI có

FA là đường trung tuyến ứng với cạnh KI(A là trung điểm của KI)

IB là đường trung tuyến ứng với cạnh KF(B là trung điểm của KF)

KC là đường trung tuyến ứng với cạnh IF(C là trung điểm của IF)

Do đó: FA,IB,KC cắt nhau tại trọng tâm của ΔFKI

hay FA,IB,KC đồng quy(đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Trần Minh An
Xem chi tiết
Hải Pùi Hoàng
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Thuỳ Dương
Xem chi tiết
Thu Mai Trần
Xem chi tiết
Anh Minh Nguyen
Xem chi tiết
pansak9
Xem chi tiết
Lynn ;-;
Xem chi tiết
quang vươngminh
Xem chi tiết
Ex VBCB
Xem chi tiết