Question

​cho tam giác ABC AM là trung tuyến. phân giác của góc AMB cắt AB tại E; phân giác của AMC cắt AC tại F biết ME = MF. chứng minh tam giác ABC cân

Answer 1

Vì ME là phân giác của \(\widehat{AMB}\) nên \(\frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MB}\)

MF là phân giác của \(\widehat{AMC}\) nên \(\frac{FA}{FB}=\frac{MA}{MC}\)

Mà \(MB=MC\) nên \(\frac{EA}{EB}=\frac{FA}{FC}\). Theo định lí Ta - lét đảo \(\Rightarrow EF\)// \(BC\)

\(\Rightarrow\widehat{FEM}=\widehat{EMB}\)

     \(\widehat{EFM}=\widehat{FMC}\)

Mà \(\widehat{FEM}=\widehat{EFM}\) ( Do \(\Delta MEF\) cân tại M )

\(\Rightarrow\widehat{EMB}=\widehat{FMC}\Rightarrow\frac{\widehat{AMB}}{2}=\frac{\widehat{AMC}}{2}\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90\)

=> AM vuông góc với BC hay AM là đường cao .lại có AM là trung tuyến nên tam giác ABC cân tại A

Answer 2

Answer 3

Vì ME là tia p/g của \(\widehat{AMB}=\frac{EA}{AB}=\frac{MA}{MB}\)

MF là tia phân giác \(\widehat{AMC}\Rightarrow\frac{FA}{FB}=\frac{MA}{MC}\)

Mà MB = MC nên \(\frac{EA}{EB}=\frac{FA}{FC}\) 

Áp dụng định lí Pi ta go có:

\(\widehat{FEM}=\widehat{EMB}\Rightarrow\widehat{EFM}=\widehat{FMC}\)

Mà: \(\widehat{EFM}=\widehat{FEM}\) (Do MEF cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{EMB}=\widehat{FMC}\Rightarrow\frac{\widehat{AMB}}{2}=\frac{\widehat{AMC}}{2}\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^o\)

=> AM vuông BC hay AM là đường cao, AM lại là trung tuyến

Vậy ABC cân