\(mx^2-\left(m+2\right)x+1-m=0\left(1\right)\) \(\left(m\ne0\right)\)
Để phương trình (1) có nghiệm thì:
\(\Delta\ge0\Rightarrow\left(m+2\right)^2-4m\left(1-m\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2+4m+4-4m+4m^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow5m^2+4\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\forall m\) thì phương trình (1) luôn có nghiệm.
Theo định lí Viete cho phương trình (1) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+2}{m}\\x_1x_2=\dfrac{1-m}{m}\end{matrix}\right.\)
Ta có \(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>1\left(2\right)\) nên \(x_1,x_2\ge0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m+2}{m}>0\\\dfrac{1-m}{m}\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m< -2\\m>0\end{matrix}\right.\\0< m\le1\end{matrix}\right.\Rightarrow0< m\le1\)
\(\left(2\right)\Rightarrow\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2>1\)
\(\Rightarrow x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}>1\)
\(\Rightarrow\dfrac{m+2}{m}+2\sqrt{\dfrac{1-m}{m}}>1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{m+2}{m}+\dfrac{2\sqrt{m-m^2}}{m}>1\)
\(\Leftrightarrow m+2+2\sqrt{m-m^2}>m\) (vì \(m>0\))
\(\Leftrightarrow\sqrt{m-m^2}+1>0\) (luôn đúng)
Vậy với \(0< m\le1\) thì \(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>1\)
