Question

Cho phương trình:\(x^2-mx+m-1=0\)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b/ gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm gtnn và lớn nhất của biểu thức:

\(M=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(x_1x_2+1\right)}\)

Answer 1

a. \(\Delta=m^2-4\left(m-1\right)=\left(m-2\right)^2\ge0\forall m\)

=> Pt đã cho có nghiệm ∀m (đpcm)

b. Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(x_1x_2+1\right)}=\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)

\(\Rightarrow\left(m^2+2\right)\cdot P=2m+1\Leftrightarrow Pm^2-2m+2P-1=0\left(1\right)\)

Để tồn tại m thì pt (1) với ẩn m phải có nghiệm, tức là:

\(\Delta'=1-P\left(2P-1\right)\ge0\Leftrightarrow1-2P^2+P\ge0\Leftrightarrow2P^2-P-1\le0\Leftrightarrow\left(P-1\right)\left(2P+1\right)\le0\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}\le P\le1\)

\(\Rightarrow P_{min}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow m=-2\);

\(P_{max}=1\Leftrightarrow m=1\)