Question

Cho phương trình:\(mx^2+2\left(m-2\right)x+m-3=0\)

1)Xác định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

2)Xác định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn

3)Tìm hệ thức 2 nghiệm không phụ thuộc vào m

4)Tìm min A biết A=\(x_1^2+x_2^2\)

Answer 1

1) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì

\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta'>0\\P< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\-m+4>0\\\dfrac{m-3}{m}< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m< 4\\m< 3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) 0\(\ne\)m<3.

Vậy: với 0\(\ne\)m<3, phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

2) Thừa hưởng từ kết quả câu 1, để nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì S<0 \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{-2\left(m-2\right)}{m}\)<0 \(\Leftrightarrow\) m>2.

Vậy: với 2<m<3, phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

3) Với 0\(\ne\)m<4 (điều kiện để phương trình có hai nghiệm):

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-2\left(m-2\right)}{m}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{4}{m}-2\\x_1x_2=1-\dfrac{3}{m}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x_1+x_2+2}{4}=\dfrac{1}{m}\\\dfrac{1-x_1x_2}{3}=\dfrac{1}{m}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) 3x₁+3x₂+4x₁x₂+2=0.

4) Với 0\(\ne\)m<4 (điều kiện để phương trình có hai nghiệm):

A=x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=\(\left(\dfrac{-2\left(m-2\right)}{m}\right)^2-2.\dfrac{m-3}{m}\)=\(2-\dfrac{10}{m}+\dfrac{16}{m^2}\)=\(\left(\dfrac{4}{m}-\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{7}{16}\)\(\ge\dfrac{7}{16}\).

Dấu "=" xảy ra khi x=16/5 (nhận).

Vậy minA=7/16 tại m=16/5.