\(\Delta=\left(m-2\right)^2-4.\left(5\right)=\left(m-2\right)^2-20\)
phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2-20>0\) \(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2>20\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2>\sqrt{20}\\hoặc\\m-2< -\sqrt{20}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>2+\sqrt{20}\\hoặc\\m< 2-\sqrt{20}\end{matrix}\right.\)
áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=5\end{matrix}\right.\)
ta có : \(A=3\left(x_1^2+x_2^2\right)+8x_1x_2\)
\(A=3\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)+8x_1x_2\)
\(A=3\left(x_1+x_2\right)^2-6x_1x_2+8x_1x_2\)
\(A=3\left(x_1+x_2\right)^2+2x_1x_2\)
\(A=3\left(m-2\right)^2+2\left(5\right)\)
\(A=3\left(m-2\right)^2+10\ge10\forall m\)
\(\Rightarrow minA=10\Leftrightarrow3\left(m-2\right)^2=0\Leftrightarrow m-2=0\Leftrightarrow m=2\left(khôngthỏamảngđiềukiện\right)\)
vậy không có giá trị nào của m để A min
\(\Delta=\left(m-2\right)^2-4\left(m-5\right)=m^2-4m+4-4m+20\)
\(\Delta=m^2-8m+24=m^2-8m+16+8=\left(m-4\right)^2+8>0\forall m\)
vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\forall m\)
áp dụng hệ thức vi ét ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=m-5\end{matrix}\right.\)
ta có : \(A=3\left(x_1^2+x_2^2\right)+8x_1x_2=3\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)+8x_1x_2\)
\(A=3\left(x_1+x_2\right)^2-6x_1x_2+8x_1x_2=3\left(x_1+x_2\right)^2+2x_1x_2\)
\(A=3\left(m-2\right)^2+2\left(m-5\right)=3\left(m^2-4m+4\right)+2m-10\)
\(A=3m^2-12m+12+2m-10=3m^2-10m+2\)
\(A=3m^2-2.\sqrt{3}m.\dfrac{10}{2\sqrt{3}}+\dfrac{100}{12}-\dfrac{100}{12}+2\)
\(A=\left(\sqrt{3}m-\dfrac{10}{2\sqrt{3}}\right)^2+\dfrac{-19}{3}\ge\dfrac{-19}{3}\)
\(\Rightarrow minA=\dfrac{-19}{3}khi\left(\sqrt{3}m-\dfrac{10}{2\sqrt{3}}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3}m-\dfrac{10}{2\sqrt{3}}=0\Leftrightarrow\sqrt{3}m=\dfrac{10}{2\sqrt{3}}\Leftrightarrow m=\dfrac{10}{6}\)
vậy \(minA=\dfrac{-19}{3}khi\) \(x=\dfrac{10}{6}\)
Mình nhầm đề bài chút: Phương trình là: \(x^2-\left(m-2\right)x+m-5=0\)
