Question

Cho phương trình \(x^2-2x+3-m=0\)(x là ẩn số, m là tham số) (1)

a) Không giải phương trình (1), tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình (1) với m=6. Từ đó lập phương trình bậc hai nhận \(y_1=\dfrac{1}{x_1+1}\)và \(y_2=\dfrac{1}{x_2+1}\)là nghiệm.

b)Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x_1,x₂ thỏa mãn hệ thức \(2x^3_1+\left(m+1\right)x^2_2=16\)

Answer 1

a) Thay m=3 phương trình 1 trở thành x²-2x-3=0

Phương trình có a và c trái dấu nên luôn có nghiệm

Áp dụng định lí viét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

Ta có:\(y_1+y_2=\dfrac{1}{x_1+1}+\dfrac{1}{x_2+1}=\dfrac{x_1+x_2+2}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}=\dfrac{x_1+x_2+2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}\)

\(y_1\cdot y_2=\dfrac{1}{x_1+1}\cdot\dfrac{1}{x_2+1}=\dfrac{1}{x_1x_2+x_1+x_2+1}\)

Thay \(x_1+x_2=2\);\(x_1x_2=-3\)

=>\(y_1+y_2=\dfrac{2+2}{-3+2+1}=\dfrac{4}{0}\)

\(y_1y_2=\dfrac{1}{-3+2+1}=\dfrac{1}{0}\)

=>\(y_1+y_2\);\(y_1y_2\)không tồn tại

=>không tồn tại phương trình nhận \(y_1;y_2\)làm nghiệm

CÓ LẼ SAI ĐỀ!

b)Để phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta'\ge0\Leftrightarrow1^2-\left(3-m\right)\ge0\Leftrightarrow m-2\ge0\Leftrightarrow m\ge2\)

Với \(m\ge2\)phương trình 1 có 2 nghiệm pb

Áp dụng định lí viét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=3-m\end{matrix}\right.\)

=>m+1=\(2x_1+2x_2-x_1x_2=2x_2+x_1\left(2-x_2\right)\)=\(2x_2+x_1^2\)

Ta có:\(2x_1^3+\left(m+1\right)x_2^2=16\)

<=>\(2x_1^3+\left(2x_2+x_1^2\right)x_2^2=16\)

<=>\(2\left(x_1^3+x_2^3\right)+x_1^2x_2^2=16\)

<=>\(2\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)+x_1^2x_2^2=16\)

<=>\(2\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]+\left(x_1x_2\right)^2=16\)

Thay \(x_1+x_2=2\)và\(x_1x_2=3-m\)ta có:

2.2.[2²-3.(3-m)]+(3-m)²=16

<=>4.(4-9+3m)+m²-6m+9=16

<=>12m-20+m²-6m+9-16=0

<=>m²+6m-27=0

<=>(m-3)(m+9)=0

<=>m=3(TM) hoặc m=-9(L)