Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì △=\(b^2-4ac>0\Leftrightarrow\left[-2\left(n-2\right)\right]^2-4.1.\left(n^2-4\right)>0\Leftrightarrow4n^2-16n+16-4n^2+16>0\Leftrightarrow-16n+32>0\Leftrightarrow-16n>-32\Leftrightarrow n< 2\)Giả sử \(x_2=2x_1\)
Theo định lí Vi-ét với n<2 ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{2n-4}{1}=2n-4\\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{n^2-4}{1}=n^2-4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}3x_1=2n-4\\x_1^2=n^2-4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{2n-4}{3}\\x_1=\pm\sqrt{n^2-4}\end{matrix}\right.\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{2n-4}{3}\\x_1=\sqrt{n^2-4}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\frac{2n-4}{3}=\sqrt{n^2-4}\)(loại vì n<2 nên \(\frac{2n-4}{3}< 0\) mà \(\sqrt{n^2-4}>0\))
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{2n-4}{3}\\x_1=-\sqrt{n^2-4}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\frac{4-2n}{3}=\sqrt{n^2-4}\Leftrightarrow16-16n+4n^2=9n^2-36\Leftrightarrow5n^2+16n-52=0\Leftrightarrow\left(n-2\right)\left(5n+26\right)=0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}n=2\left(ktm\right)\\n=-\frac{26}{5}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy n=\(-\frac{26}{5}\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
