Question

cho phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+2m-15=0\).Gọi \(x_1,x_2\) là no của phương trình. Tìm m \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\) nguyên

Answer 1

Lời giải:

ĐK: $m$ nguyên.

Để pt có 2 nghiệm thì \(\Delta'=(m+1)^2-(2m-15)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2+16>0\) (luôn đúng với mọi $m$)

Theo định lý Viete ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+1)\\ x_1x_2=2m-15\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{2(m+1)}{2m-15}\)

Để \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2(m+1)\vdots 2m-15\)

\(\Leftrightarrow 2m-15+17\vdots 2m-15\Rightarrow 17\vdots 2m-15\)

\(\Rightarrow 2m-15\in\left\{\pm 1;\pm 17\right\}\)

\(\Rightarrow m\left\{7; 8; -1; 16\right\}\)