Question

Cho phương trình \(x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-m-1=0\) với 2 nghiệm là \(x_1,x_2\) . Tìm GTNN của \(M=\left(x_1-1\right)^2+\left(x_2-1\right)^2+m\)

Answer 1

\(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-\left(m^2-m-1\right)\\ =m^2-2m+1-m^2+m+1\\ =-m+2\)

Để phương trình có 2 nghiệm x₁; x₂ thì \(\Delta'=-m+2\ge0\Leftrightarrow m\le2\)

Áp dụng Viet, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=m^2-m-1\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(M=\left(x_1-1\right)^2+\left(x_2-1\right)^2+m\\ =x_1^2-2x_1+1+x_2^2-2x_2+1+m\\ =\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+m+2\\ =\left[2\left(m-1\right)\right]^2-2\left(m^2-m-1\right)-2\left[2\left(m-1\right)\right]+m+2\\ =4m^2-8m+4-2m^2+4m+4-4m+4+m+2\\ =2m^2-7m+14\\ =2\left(m^2-\frac{7}{2}m+7\right)\\ =\left(m^2-2\cdot m\cdot\frac{7}{4}+\frac{49}{16}+\frac{63}{16}\right)\\ =2\left(m-\frac{7}{4}\right)^2+\frac{63}{8}\ge\frac{63}{8}\forall m\)

Vậy Min M = 63/8 khi m = 7/4 (tm)

P.s: Có gì bạn kiểm tra lại nhá, tại nó dài quá :v