để pt có 2 no phân biệt thì
\(\Delta=\left(m-1\right)^2+4m^2+4=5m^2-2m+5>0\left(\text{luôn đúng}\right)\)
vậy pt trên luôn có 2 nghiệm phân biệt
giả sử pt có 2 nghiệm là x1,x2 sao cho x1>x2
ta có
xét \(x_1>x_2\ge0\)
\(\Rightarrow\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=x_1+x_2\)
mặt khác theo vi-ét ta có
\(x_1+x_2=m-1\)
vậy để \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=2\sqrt{2}\)
thì \(m=1+2\sqrt{2}\)
xét \(x_1\ge0>x_2\)
\(\Rightarrow\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=x_1-x_2\)
mặt khác theo vi-ét ta có
\(x_1+x_2=m-1\)
vậy ta có hpt
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1-x_2=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+2\sqrt{2}-1}{2}\\x_2=\dfrac{m-2\sqrt{2}-1}{2}\end{matrix}\right.\)
lại có
\(x_1x_2=-m^2-1\)
suy ra\(\dfrac{m+2\sqrt{2}-1}{2}\cdot\dfrac{m-2\sqrt{2}-1}{2}=-m^2-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2-2m-7}{4}=-m^2-1\)
\(\Leftrightarrow5m^2-2m-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{1+\sqrt{11}}{5}\\m=\dfrac{1-\sqrt{11}}{5}\end{matrix}\right.\)
xét \(0>x_1>x_2\)
thì \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=-\left(x_1+x_2\right)\)
mặt khác theo vi-ét ta có
\(x_1+x_2=m-1\)
vậy để \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=2\sqrt{2}\)
thì \(m=1-2\sqrt{2}\)
đạt giá trị nhỏ nhất
