TH1: p có dạng: p = 3k + 1 (k thuộc N*):
Ta có: (p – 1)(p + 1) = 3k.(3k + 2)
Vì p là số nguyên tố nên: k là số chẵn, k = 2n (Với n thuộc N*).
=> (p – 1).(p + 1) = 3.2n.(6n + 2) = 3.4.n.(3n + 1)
Nếu n là số lẻ thì 3n + 1 là số chẵn, ngược lại, n là số chẵn thì 3n + 1 là số lẻ nên suy ra: n.(3n + 1) chia hết cho 2
(p – 1)(p + 1) chia hết cho 3.4.2 = 24 (đpcm) (1)
TH2: p có dạng: p = 3k + 2 (k thuộc N*):
Ta có: (p – 1)(p + 1) = (3k + 1).(3k + 3) = 3.(3k + 1).(k + 1)
Vì p là số nguyên tố nên: k là số lẻ, k = 2n + 1 (Với n thuộc N*).
=> (p – 1).(p + 1) = 3.(6n + 4).(2n + 2) = 3.4.(3n + 2).(n + 1)
Nếu n là số lẻ thì 3n + 2 là số lẻ và n + 1 là số chẵn, ngược lại, n là số chẵn thì 3n + 2 là số chẵn và n + 1 là số lẻ nên suy ra: (3n + 2).(n + 1) chia hết cho 2.
=> (p – 1)(p + 1) chia hết cho 3.4.2 = 24 (đpcm) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (p – 1).(p + 1) chia hết cho 24 (đpcm).
