Question

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh rằng p^2-1 chia hết cho 24.

Answer 1

vì p>3 nên p có dạng p=3k+1 hoặc p=3k+2
với p=3k+1 thì p^2-1=(p+1)(p-1)=(3k+2)3k chia hết cho 3
với p=3k+2 thì p^2-1=(p+1)(p-1)=(3k+3)(3k+1) chia hết cho 3
vậy với mọi số nguyên tố p>3 thì p^2-1 chia hết cho 3 (1)
mặt khác cũng vì p>3 nên p là số lẻ =>p+1,p-1 là 2 số chẵn liên tiếp
=>trong hai sô p+1,p-1 tồn tại một số là bội của 4
=>p^2-1 chia hết cho 8 (2)
từ (1) và (2) => p^2-1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên tố p>3

Answer 2

Đáp án: 7

Vì 7 ∈ P

7² = 49

49 - 1 = 48

48⋮24

Answer 3

- Vì p² là số chính phương nên chia cho 3 dư 0 hoặc 1. Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên \(p^2⋮̸3\), do đó p² chia cho 3 dư 1 \(\Rightarrow p^2-1⋮3\) (1)

- Ta có: p² - 1 = (p - 1)(p + 1)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ \(\Rightarrow\) p - 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp. Trong hai số chẵn liên tiếp có đúng một số chia hết cho 4 \(\Rightarrow\) (p - 1)(p + 1) \(⋮2.4=8\) \(\Rightarrow\) p² - 1 \(⋮\) 8 (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) p² - 1 \(⋮\) 3 và 8 \(\Rightarrow\) p² - 1 \(⋮\) 24 (đpcm)