Question

Cho P = \(\dfrac{\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)...\left(a+a\right)+3^a}{2^a}\).

Chứng tỏ rằng P không thể là một số tự nhiên với mọi a là số tự nhiên khác 0.

Answer 1

Lời giải:

Ta thấy rằng : \(a=1\Rightarrow P=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}\not\in\mathbb{N}\)

Với $a>1$ thì $(a+1)(a+2)...(a+a)$ là tích của $a$ số tự nhiên liên tiếp. Do đó trong tích $(a+1)...(a+a)$ có cả thừa số chẵn và thừa số lẻ

Suy ra \((a+1)(a+2)..(a+a)\) chẵn

\(\Rightarrow (a+1)...(a+a)+3^a\) lẻ, tức là không chia hết cho 2

Do đó \(\frac{(a+1)(a+2)...(a+a)+3^a}{2^a}\not\in\mathbb{N}\) (đpcm)