cho (O;R) và điểm A thỏa mãn OA =2R. Vẽ các tiếp tuyến AB=AC (B,C là 2 tiếp điểm). Vẽ đường kính BOQ
1) C/m 4 điểm A,B,O,C cùng thuộc 1 đtròn
2)C/m CQ // OA
3)Đường trung trực của BQ cắt AC,CQ thứ tự là F, E. C/m tứ giác OCEA là hthang cân
4) I là giao điểm của OA với (O). K là giao điểm của tia FI và AB. Tính diện tích tứ giác AKOF theo R
a) Ta có AB và AC là tiếp tuyến của (O)\(\Rightarrow\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^0\)
Xét tứ giác ABOC có:
\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^0+90^0=180^0\)
Suy ra tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn
Hay A,B,O,C thuộc 1 đường tròn
b)
Ta có AB và AC là tiếp tuyến của (O)\(\Rightarrow AB=AC\)
Mà OB=OC=R\(\Rightarrow\)OA là đường trung trực của BC hay OA⊥BC(1)
Xét △CBQ nội tiếp (O) có BQ là đường kính của (O)
Suy ra △CBQ vuông tại C hay QC⊥BC(2)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow CQ\)//OA
c) Ta có QC//OA\(\Rightarrow CE\)//OA\(\Rightarrow\)OCEA là hình thang (3)
Ta có \(\widehat{OQE}+\widehat{OBC}=90^0\)
\(\widehat{OBC}+\widehat{BOA}=90^0\)
Suy ra \(\widehat{OQE}=\widehat{BOA}\)
Xét △BOA và △EOQ có
\(\widehat{OQE}=\widehat{BOA}\left(cmt\right)\)
\(\widehat{OEQ}=\widehat{ABO}=90^0\)
OB=OQ=R
Suy ra △BOA = △EOQ(g-c-g)
\(\Rightarrow AB=OE\)
Mà AB=AC (AB và AC đều là tiếp tuyến chung của (O))
Suy ra OE=AC(4)
Từ (3),(4)\(\Rightarrow\)OCEA là hình thang cân
d) Ta có \(\widehat{FOI}+\widehat{AOB}=90^0\)
\(\widehat{AOB}+\widehat{OAB}=90^0\)
\(\widehat{OAB}=\widehat{FAO}\)
Suy ra \(\widehat{FOA}=\widehat{FAO}\Rightarrow\)△SOA cân tại S
Lại có FI là đường trung tuyến (OI=OA=\(\dfrac{OA}{2}=R\))
Suy ra FI⊥OA\(\Rightarrow\)KF⊥OA(5)
Ta có △KAF có \(\widehat{KAI}=\widehat{FAI}\)
AI⊥KF
Suy ra \(KI=FI\)
Mà OI=AI
Suy ra OKAF là hình bình hành(6)
Từ (5),(6)\(\Rightarrow\)AKOF là hình thoi
Ta có △OAB vuông tại A có OA=2OB(=2R)\(\Rightarrow\widehat{OAB}=30^0\Rightarrow tan_{30}=\dfrac{KI}{AI}\Rightarrow KI=tan_{30}.AI=\dfrac{\sqrt{3}}{3}R\Rightarrow KF=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}R\)
Vậy SAKOF=\(\dfrac{OA.FK}{2}=\dfrac{2R.\dfrac{2\sqrt{3}}{3}R}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}R^2\)
