Cho (O; R) và điểm P nằm ngoài (O). Kẻ tiếp tuyến PA và PB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm).
a) Chứng minh: A, P, B, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ đường kính AM của (O). Chứng minh BM song song với OP.
c) Đường thẳng vuông góc với AM tại O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OMNP là hình bình hành.
d) Đường thẳng AN cắt OP tại K, PB cắt ON tại I, PN cắt OB tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Mình cảm ơn rất nhiều ạ!!
a) Xét tứ giác APBO , có: \(\widehat{PAO}=\widehat{PBO}\) = 90o ( vì PA và PB là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B )
=> \(\widehat{PAO}+\widehat{PBO}\) = 90o + 90o = 180o mà 2 góc ở vị trí đối nhau
=> tứ giác APBO là tứ giác nội tiếp
=> 4 điểm A , P , B , O cùng thuộc 1 đường tròn.
Vậy 4 điểm A , P , B , O cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Ta có: OA = OB = bán kính ; PA = PB ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau )
=> OP là đường trung trực của AB => OP⊥AB
Mà: \(\widehat{ABM}\) = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) )
=> BM⊥AB
Suy ra : BM//OP ( cùng vuông góc với AB )
Vậy BM//OP
c) Xét ΔOAP và ΔMON , có:
\(\widehat{OAP}=\widehat{MON}\left(=90^o\right)\)
OA = MO ( bán kính )
\(\widehat{AOP}=\widehat{OMN}\) ( vì OP//MB )
=> ΔOAP = ΔMON ( cgv - gnk )
=> OP = MN ( hai cạnh tương ứng )
Xét tứ giác OMNP , có: OP = MN ( cmt ) ; OP//MN ( vì OP//MB - cmt )
=> tứ giác OMNP là hình bình hành
Vậy tứ giác OMNP là hình bình hành.
d) Vì tứ giác OMNP là hình bình hành ( cmt ) => \(\widehat{OPN}=\widehat{OMN}\) ( tính chất của hình bình hành )
Ta có : ΔOMN cân tại O ( vì OM = OB = bán kính )
=> \(\widehat{OMN}\) = \(\widehat{OBM}\) mà \(\widehat{OBM}\) = \(\widehat{POB}\) (vì OP//MB - cmt) ; \(\widehat{OPN}=\widehat{OMN}\) (cmt)
=> \(\widehat{OPN}=\widehat{POB}\) => ΔJOP cân tại J
Vì OM//PN ( tính chất hình bình hành ) => \(\widehat{PNO}\) = \(\widehat{MON}\) = 90o
Xét tứ giác OAPN , có :\(\widehat{OAP}=\widehat{AON}=\widehat{PNO}=90^o\)
=> tứ giác OAPN là hình chữ nhật mà 2 đường chéo AN và OP cắt nhau tại K => K là trung điểm của OP
Xét ΔJOP cân tại J ,có: JK là đường trung tuyến ( vì K là trung điểm của OP ) => JK đồng thời là đường trung trực của OP (1)
+ Ta có : \(\widehat{POI}+\widehat{POA}=90^o\) ( vì \(\widehat{AON}=90^o\) - OAPN là hình chữ nhật )
\(\widehat{OPI}+\widehat{POB}=90^o\) ( vì \(\widehat{POB}=90^o\) )
Mà : \(\widehat{POA}=\widehat{POB}\) ( vì PA và PB là 2 tiếp tuyến của đường trong (O) tại A và B => OP là phân giác của \(\widehat{AOB}\) )
=> \(\widehat{POI}=\widehat{OPI}\) => ΔIOP cân tại I mà IK là đường trung tuyến ( vì K là trung điểm của OP ) => IK là đường trung trực của OP (2)
Từ (1) và (2) => 3 điểm K , I , J thẳng hàng.
Vậy 3 điểm K , I , J thẳng hàng.
~~~~~~~~~~~
Chúc bạn học tốt ~~~~~~~~~~~~~
