Question

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R , hai tiếp tuyến Ax, By của (O) cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB. Tiếp tuyến tại M tùy ý của ( O) cắt Ax , By lần lượt tại C, D ( M \(\ne\) A,B )

a ) C/m tứ giác ACMO và BDMO nội tiếp .

b ) C/m OC vuông góc OD và AC .BD= R²

c ) Gọi N là giao điểm của AD và BC , MN cắt AB tại H . C/m MN // AC và N là trung điểm của MH.

d ) Tính \(S_{\Delta MAB}\) biết \(AB=5cm\) và \(S_{ABDC}=20cm.\)

Answer 1

a) xét tg OACM, ta có:

góc CMO =90

góc CAO=90

suy ra góc CMO+CAO=180. Mà hai góc này ở vị trí dối nhau. Nên tg OACM noi tiep.

Xét tg BDMO, ta có:

góc DBO=90

góc DMO=90

suy ra góc DBO+DMO=180. Mà hai góc này ở vị trí đối nhau.Nên tg BDMO nội tiếp.

c)xet ΔCNA và ΔBND, ta có;

góc CNA=DNB

góc ACN=NBD

⇒ΔCNA đd ΔBND

⇒CN/BN=CA/BD

hay CN/BN=CM/MD

⇒MN//BD(định lí thales đảo)

Mà CA//BD

nên CA//MN(dpcm)

Answer 2

a) xét tứ giác ACMO ta có : CMO = 90 (CM là tiếp tuyến)

CAO = 90 (CA là tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) CMO + CAO = 180

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau \(\Rightarrow\) tứ giác ACMO nội tiếp

xét tứ giác BDMO ta có : DMO = 90 (DM là tiếp tuyến)

DBO = 90 (DB là tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) DMO + DBO = 180

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau \(\Rightarrow\) tứ giác BDMO nội tiếp

b) ta có : MDO = MBO (2 góc nội tiếp cùng chắng cung OM của tứ giác BDMO)

MCO = MAO (2 góc nội tiếp cùng chắng cung OM của tứ giác ACMO)

xét \(\Delta\) AMB và \(\Delta\) COD : ta có : MDO = MBO (chừng minh trên)

MCO = MAO (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) AMB đồng dạng \(\Delta\) COD

\(\Leftrightarrow\) COD = AMB = 90

\(\Leftrightarrow\) COD = 90 \(\Leftrightarrow\) CO \(\perp\) OD

ta có : \(\Delta\) vuông COD có đường cao OM (CD là tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) CM.DM = OM² (hệ thức lượng)

ta có : AC = MC (tính chất tiếp tuyến)

BD = MD (tính chất tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) AC.BD = MC.MD

mà MC.MD = OM² (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\) AC.BD = OM² \(\Leftrightarrow\) AC.BD = R² (OM = R)