Question

Cho mình sửa lại đề :
Cho biểu thức A  = a^3 +b^3 + c^3+a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)Cho a+b+c = 1 .
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A

 

Answer 1

Ta có :
A = a³ +b³ + c³+a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)
    = a²(a+b+c) + b²(a+b+c)+c²(a+b+c)
    = (a+b+c)(a²+b²+c²)
V ới a+b+c = 1 thì A = a²+b²+c²
Ta  có a²+b² ≥2ab
    a²+ c² ≥ 2ac
    b² + c² ≥ 2bc
2(a² + b² +c²) ≥ 2(ab + bc + ac)(1)
Cộng thêm vào hai vế của (1) với a² + b² + c²
⇔ 3(a² + b² + c²) ≥ (a+b+c)²
⇔ 3A ≥ 1/3
⇔ A≥1/3 Dấu “ = ” xảy ra khi a= b =c
Mà a+b+c = 1 nên a =b=c = 1/3
 Do đó A đạt giá trị nhỏ nhất là 1/3khi a =b=c = 1/3