Cách khác:
Ta chứng minh BĐT mạnh hơn sau đây: \(4\left(x+y+z\right)^3\ge27\left(x^2y+y^2z+z^2x+xyz\right)\) (sorry em quen gõ x, y, z rồi nha!)
Do a, b, c có vai trò hoán vị vòng quanh, không mất tính tổng quát, giả sử:
Hướng 1:
\(x=mid\left\{x,y,z\right\}\)
\(VT-VP=\left(4y+4z+x\right)\left(y+z-2x\right)^2-27y\left(x-y\right)\left(x-z\right)\ge0\)
Hướng 2:
\(y=\min\left\{\,x,\,y,\,z\right\}\)
\(VT-VP=\frac{27y(y-z)^2 + (4x+16z -11y)(y+z-2x)^2}{4} \geq 0\)
P/s: Đây là câu 2 trong chuyên mục của em: Câu hỏi của tth - Toán lớp 9, đã có đáp án.
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)\)
Giả sử \(b=mid\left\{a;b;c\right\}\)
\(\Rightarrow\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\)
\(\Leftrightarrow b^2c+ac^2\le bc^2+abc\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a\le a^2b+bc^2+abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a\le a^2b+bc^2+2abc=b\left(a+c\right)^2=b\left(a+c\right)\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a\le\frac{1}{54}\left(2b+2a+2c\right)^3=\frac{4}{27}\)
Dấu "=" xảy ra ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)\) và hoán vị
