Question

Cho là các số dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

Answer 1

biến đổi: \(P=1.\left(\dfrac{1}{16x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{z}\right)=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{16x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(P=\left(\dfrac{y}{16x}+\dfrac{x}{4y}\right)+\left(\dfrac{z}{16x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{4y}+\dfrac{y}{z}\right)+\dfrac{21}{16}\)

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho từng ngoặc ta được: 

\(\dfrac{y}{16x}+\dfrac{x}{4y}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{16x}.\dfrac{x}{4y}}=\dfrac{1}{4}\)

hoàn toàn tương tự: \(\dfrac{z}{16x}+\dfrac{x}{z}\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{z}{4y}+\dfrac{y}{z}\ge1\)

=> P>=49/16