Question

Cho hình vuông EFGH 1 góc vuông xEy thay đổi quay quanh E Ex cắt FG, GH tại M,n Ey cắt FG, GH tại P,Q

a) Chứng minh tam giác ENP,EMQ là tam giác cân

b QM cắt NP tại R. I,K là trung điểm của PN và QM tứ giác EKRY là hình gì

c) Chứng minh F,H,K,I thẳng hàng

Answer 1

a) Xét tam giác MEF và tam giác EHQ ta có:

EH=FE(tc hv EFGH)

\(\widehat{EHQ}=\widehat{EFM}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{HEQ}=\widehat{FEM}\) (cùng phụ \(\widehat{GEF}\) )

=> tam giác HEQ=FEM(g-c-g)

=> EQ=EM (2 cạnh tương ứng)

=> tam giác EQM cân tại E

Xét tam giác FEP và HEN ta có:

EH=FE(tc hv EFGH)

\(\widehat{EHN}=\widehat{EFP}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{HEN}=\widehat{FEP}\) (cùng phụ \(\widehat{HEG}\) )

=> tam giác HEN=FEP (g-c-g)ư

=> EN=EP(2 cạnh tương ứng)

=> tam giác ENP cân tại E

Answer 2

c) Xét tam giác NEP vuông tại E ta có:

EI là đg trung tuyến (I là trung điểm NP)

=> EI=\(\dfrac{1}{2}NP\)

Xét tam giác GNP vuông tại G ta có:

EI là đg trung tuyến (I là trung điểm NP)

=> GI=\(\dfrac{1}{2}NP\)

Mà EI=\(\dfrac{1}{2}NP\) (cmt)

Nên GI=EI

Chứng minh tương tự EK=KG

Ta có:

GI=EI(cmt)

EK=KG(cmt)

EH=HG(thc hv EFGH)

FE=FG(tc hv EFGH)

=> I,H,K,F thuộc đg trung trực của EG

=> I,H,K,F thẳng hàng

Answer 3

b) Xét tam giác ENP cân tại E ta có:

EI là đg trung tuyến (I là trung điểm NP)

=> EI là đg cao và EI cũng là đg phân giác

=>\(\left\{{}\begin{matrix}EI\perp NP\\\widehat{NEI}=\widehat{IEP}=\dfrac{\widehat{NEP}}{2}\end{matrix}\right.\)

Chứng minh tương tự

\(\left\{{}\begin{matrix}EK\perp MQ\\\widehat{QEK}=\widehat{KEM}=\dfrac{\widehat{QEM}}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\widehat{NEP}+\widehat{QEM}=180^o\)(kề bù)

=> \(2\widehat{IEP}+2\widehat{QEK}=180^o\)

<=> \(\widehat{IEP}+\widehat{QEK}=90^o=\widehat{IEK}\)

=> \(IE\perp EK\)

Xét tg EKRI ta có:

\(\widehat{IEK}=\widehat{EKR}=\widehat{EIR}=90^o\left(EI\perp NP;EI\perp EK;EK\perp MQ\right)\)

=> EKRI là hcn