Question

Cho hình vuông ABCD. Gọi H là một điểm nằm giữa A và B. Tia DH và tia CB cắt nhau tại K. Chứng minh rằng \(\frac{1}{DH^2}+\frac{1}{DK^2}\) không đổi khi H thay đổi trên cạnh AB.

Answer 1

Lời giải:

Do $ABCD$ là hình vuông nên $AB\parallel CD$ hay $HB\parallel DC$

$BC\parallel AD$ suy ra $KB\parallel AD$. Áp dụng định lý Talet:

$\frac{KH}{HD}=\frac{KB}{BC}=\frac{KB}{AD}=\frac{BH}{AH}$

$\Rightarrow \frac{KH}{HD}+1=\frac{BH}{AH}+1$

$\Leftrightarrow \frac{KD}{HD}=\frac{AB}{AH}\Rightarrow KD=\frac{AB.HD}{AH}$

Do đó:

$\frac{1}{DH^2}+\frac{1}{DK^2}=\frac{1}{DH^2}+\frac{AH^2}{AB^2.HD^2}$

$=\frac{AB^2+AH^2}{AB^2.HD^2}=\frac{AD^2+AH^2}{AB^2.HD^2}=\frac{HD^2}{AB^2.HD^2}$ (theo định lý Pitago)

$=\frac{1}{AB^2}$ không đổi khi $H$ thay đổi.

Ta có đpcm.

Answer 2

Hình vẽ: