Question

Cho hình vuông ABCD, điểm E tùy ý trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AE tại A và cắt CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến Ay của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại K. Chứng minh:

a, AE=AF

b, tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF và AF^2= KF.CF

Answer 1

a. Xét ΔABE và ΔADF có:

AB = AD

Góc EAB = FAD ( cùng phụ góc EAD)

Do đó: Δ ABE = ΔADF ( cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

⇒ AE = AF ( 2 cạnh tương ứng)

b.

Xét ΔAEF có AE = AF

⇒ Δ AEF cân tại A

Lại có Ay là trung tuyến

⇒ Ay cũng là phân giác của góc EAF

⇒ góc FAK = 45^o

Xét AKF và CAF có:

góc AFK chung

góc FAK = ACF (= 45^o)

Do đó: ΔAKF ~ ΔCAF (g.g)

⇒ \(\dfrac{AF}{CF}=\dfrac{KF}{AF}\Rightarrow AF^2=CA.KF\)