Question

Cho hình thoi ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo: M, N, R và S lần lượt là hình chiếu của O trên AB, BC, CD và DA. CM 4 điểm M, N, R, S cùng thuộc một đường tròn.

Answer 1

Sửa đề: K là hình chiếu của O trên CD

Xét ΔAOS vuông tại S và ΔCON vuông tại N có

OA=OC

góc OAS=góc OCN

Do đó: ΔAOS=ΔCON

Suy ra: OS=ON và góc AOS=góc CON

=>góc AOS+góc AON=180 độ

=>S,O,N thẳng hàng

=>O là trung điểm của SN

Xét ΔAMO vuông tại M và ΔCOK vuông tại K có 

OA=OC

góc OAM=góc KCO

Do đó: ΔAMO=ΔCOK

Suy ra: OM=OK và góc AOM=góc COK

=>góc AOM+góc AOK=180 độ

=>M,O,K thẳng hàng

=>O la trung điểm của MK

Xét ΔAMO vuông tại M và ΔASO vuông tại S có

AO chung

góc MAO=gó SAO

Do đó: ΔAMO=ΔASO

Suy ra: OM=OS

=>MK=SN

Xét tứ giác MSKN có

MK và SN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau

nên MSKN là hình chữ nhật

=>M,N,K,S cùng thuộc 1 đường tròn