Question

Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' có đường chéo bằng 2√3 a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó:

A. 8πa^2

B. 4πa^2/3

C. 4πa^2

D. 8√3 πa^2

Answer 1

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là $x$

Theo định lý Pitago ta có:
\(B'D'^2=A'B'^2+A'D'^2=x^2+x^2=2x^2\)

Độ dài đường chéo:

\(BD'=\sqrt{BB'^2+B'D'^2}=\sqrt{x^2+2x^2}=\sqrt{3}x=2\sqrt{3}a\)

\(\Rightarrow x=2a\)

Đường cầu nội tiếp hình lập phương là đường cầu có bán kính bằng một nửa độ dài cạnh lập phương

\(\Rightarrow r=\frac{x}{2}=a\)

Do đó diện tích mặt cầu cần tìm là: \(S_{c}=4\pi r^2=4\pi a^2\)

Đáp án C