Cho hình chữ nhật ABCD , có AB =20cm , AD = 15cm. Kẻ AH vuông góc với BD tại H.
1 . CM tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD
2 . Tính BD , AH
3 Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE < AD . Kẻ EM vuông góc với BD tại M , EM cắt AB tại I . Vẽ Ak vuông góc với BE tại K , AF vuông góc với ID tại E . Gọi N là giao điểm của ID và BE .
a, CM HK // MN
b, CM 3 điểm F,H, K thẳng hàng hình
1: Xét ΔAHB và ΔBCD có
\(\widehat{AHB}=\widehat{BCD}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{ABH}=\widehat{BDC}\)(hai góc so le trong, AB//CD)
Do đó: ΔAHB∼ΔBCD(g-g)
2: Áp dụng định lí pytago vào ΔABD vuông tại A, ta được:
\(BD^2=AD^2+AB^2\)
\(\Leftrightarrow BD^2=15^2+20^2=625\)
hay \(BD=\sqrt{625}=25cm\)
Ta có: ΔAHB∼ΔBCD(cmt)
⇒\(\frac{AH}{BC}=\frac{AB}{BD}\)
⇒\(\frac{AH}{15}=\frac{20}{25}\)
hay \(AH=\frac{15\cdot20}{25}=\frac{300}{25}=12cm\)
Vậy: BD=25cm; AH=12cm
3: Ta có: AH⊥BD(gt)
IM⊥BD(gt)
Do đó: AH//IM(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔBIM có AH//IM(cmt)
nên \(\frac{BA}{BI}=\frac{BH}{BM}\)(1)
Xét ΔIEB có
EA là đường cao ứng với cạnh IB(gt)
BM là đường cao ứng với cạnh IE(gt)
EA\(\cap\)BM={D}
Do đó: D là trực tâm của ΔIEB(định nghĩa trực tâm của tam giác)
⇒ID là đường cao ứng với cạnh BE
mà ID\(\cap\)BE={N}
nên IN⊥BE
mà AK⊥BE
nên IN//AK(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔBNI có IN//AK(cmt)
nên \(\frac{BA}{BI}=\frac{BK}{BN}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{BH}{BM}=\frac{BK}{BN}\)
Xét ΔBMN có \(\frac{BH}{BM}=\frac{BK}{BN}\)(cmt)
nên HK//MN(định lí ta lét đảo)
b) Ta có: AF⊥IN(gt)
EN⊥IN(gt)
Do đó: AF//EN(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
⇒\(\frac{DF}{DN}=\frac{DA}{DE}\)(hệ quả của định lí ta lét)(3)
Ta có: AH⊥BM(gt)
EM⊥BM(gt)
Do đó: AH//EM(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
\(\Rightarrow\frac{DA}{DE}=\frac{DH}{DM}\)(hệ quả của định lí ta lét)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{DF}{DN}=\frac{DH}{DM}\)
Xét ΔDFH và ΔDNM có
\(\widehat{FDH}=\widehat{NDM}\)(hai góc đối đỉnh)
\(\frac{DF}{DN}=\frac{DH}{DM}\)(cmt)
Do đó: ΔDFH∼ΔDNM(c-g-c)
⇒\(\widehat{DFH}=\widehat{DNM}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{DFH}\) và \(\widehat{DNM}\) là hai góc ở vị trí so le trong
nên FH//MN(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Ta có: HK//MN(cmt)
FH//MN(cmt)
mà HK và FH có điểm chung là H
nên F,H,K thẳng hàng(đpcm)
