H là giao điểm của DM và CN đúng ko bạn? Chứ CN và DN giao tại N mà????
Dễ dàng chứng minh \(CN\perp DM\) (bạn tự chứng minh nhé, đơn giản là góc bằng nhau có 1 cặp cạnh tương ứng vuông góc thì cặp cạnh còn lại cũng vuông nốt)
Trong tam giác vuông NDC, DH là đường cao
\(\Rightarrow\dfrac{1}{DH^2}=\dfrac{1}{DN^2}+\dfrac{1}{DC^2}\Rightarrow DH=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\Rightarrow CH=\sqrt{CD^2-DH^2}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)
Qua C kẻ đường thẳng song song DM cắt AB kéo dài tại P \(\Rightarrow\) DM//\(\left(SCP\right)\)
\(\Rightarrow\) khoảng cách giữa DM và SC bằng khoảng cách từ DM đến (SCP) và bằng khoảng cách từ H đến (SCP) do H thuộc DM
Ta có DM//CP, mà \(DM\perp CH\Rightarrow CP\perp CH\Rightarrow CP\perp\left(SHC\right)\)
Trong mặt phẳng (SHC), từ H kẻ \(HK\perp SC\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}HK\perp CP\left(HK\in SHC\right)\\HK\perp SC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow HK\perp\left(SCP\right)\Rightarrow HK\) là khoảng cách từ H đến (SCP)
Trong tam giác vuông SHC:
\(\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{HC^2}\Rightarrow HK=\dfrac{SH.HC}{\sqrt{SH^2+HC^2}}=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}\)
