Question

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = a\), góc giữa \(SA\) và \(mp\left( {ABC} \right)\) là \({60^ \circ }\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(SA\) và \(SB\). Chứng minh \(MN\parallel \left( {ABC} \right)\) và tính \(d\left( {MN,\left( {ABC} \right)} \right)\).

Answer 1

Kẻ \(SH\perp\left(ABC\right)\) \(\Rightarrow\widehat{SAH}=60^0\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông có:

\(tan60^0=\dfrac{SH}{SA}\Leftrightarrow SH=\sqrt{3}a\)

Ta có M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB

\(\Rightarrow\) MN là đường trung bình của tam giác ABC

\(\Rightarrow MN//BC\)

mà \(BC\subset\left(ABC\right)\) , \(MN⊄(ABC) \)

\(\Rightarrow MN//\left(ABC\right)\)

\(d\left(MN,\left(ABC\right)\right)=d\left(M,\left(ABC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(S,\left(ABC\right)\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.a\)

Vậy \(d\left(MN,\left(ABC\right)\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\)

Chứng minh \(d\left(M,\left(ABC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(S,\left(ABC\right)\right)\)

Kẻ \(MK\perp\left(ABC\right)\Rightarrow MK//SH\)

Áp dụng định lý thales: \(\dfrac{MK}{SH}=\dfrac{AM}{AS}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow MK=\dfrac{1}{2}SH\Rightarrow d\left(M,\left(ABC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(S,\left(ABC\right)\right)\) (đpcm)