Cho hình bình hành ABCD (AB>AD). Lấy điểm M trên cạnh AB, điểm N trên cạnh CD sao cho AM=CN
a) Chứng minh AN||MC và AN=MC;
b) Chứng minh rằng AC, BD, MN đồng quy tại điểm O.
c) Gọi G là giao điểm của AN và DB. Tìm vị trí của M, N trên 2 cạnh AB, AC để G là trọng tâm tam giác ADC
d) Gọi I là giao điểm của 2 đường phân giác góc DAB và ADC ; K là giao điểm của 2 đường phân giác góc ABC và DAB. Chứng minh I, K, O thẳng hàng.
Mọi người giúp với ạ
a) Ta có: AB//CD(hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)
mà M∈AB(gt)
và N∈CD(gt)
nên AM//CN
Xét tứ giác AMCN có AM//CN(cmt) và AM=CN(gt)
nên AMCN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒AN//MC và AN=MC(hai cạnh đối trong hình bình hành AMCN)
b) Vì ABCD là hình bình hành(gt)
nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
hay AC\(\cap\)BD={O}(1)
Vì AMCN là hình bình hành
nên hai đường chéo AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
hay AC\(\cap\)MN={O}(2)
Từ (1) và (2) suy ra AC,BD và MN đồng quy tại O(đpcm)
c)
Xét ΔADC có DO là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(O là trung điểm của AC)
mà G∈DO(G∈DB, O∈DB)
nên DG là đường trung tuyến ứng với cạnh AC trong ΔADC
Vì DG là đường trung tuyến ứng với cạnh AC trong ΔADC(cmt)
nên để G là trọng tâm của ΔADC thì AG là đường trung tuyến ứng với cạnh DC
mà G∈AN và N∈DC
nên AN là đường trung tuyến ứng với cạnh DC
hay N là trung điểm của DC
⇔\(NC=\frac{CD}{2}\)
mà AB=CD(hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)
và AM=NC(gt)
nên \(AM=\frac{AB}{2}\)
hay M là trung điểm của AB
Vậy: Khi N,M lần lượt là trung điểm của CD và AB thì G là trọng tâm của ΔADC
