Question

Cho hcn ABCD. BH \(\perp\) AC tại H. MA=MH=\(\dfrac{1}{2}\) AH. NC=ND=\(\dfrac{1}{2}\)CD.

a). Chứng minh: AH.BD=\(CD^2\)

b). MN\(\perp\) MB

 

Answer 1

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC với đường cao BH:

\(AB^2=AH.AC\) (1)

Mặt khác ABCD là hình chữ nhật nên: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=CD\\AC=BD\end{matrix}\right.\) (2)

(1); (2) \(\Rightarrow CD^2=AH.BD\)

b. Gọi P là trung điểm BH

\(\Rightarrow MP\) là đường trung bình tam giác ABH \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MP||AB||CD\\MP=\dfrac{1}{2}AB\end{matrix}\right.\) 

Mà \(NC=\dfrac{1}{2}CD\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}NC||MP\\NC=MP\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MNCP\) là hbh

\(\Rightarrow MN||CP\) (3)

Do MP song song AB, mà AB vuông góc BC \(\Rightarrow MP\perp BC\)

\(\Rightarrow\) P là trực tâm tam giác BCM

\(\Rightarrow CP\perp MB\) (4)

(3);(4) \(\Rightarrow MN\perp MB\)

Answer 2