Chương 1: VECTƠ

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trinh Ngoc Tien

Cho hbh ABCD .Gọi G,H lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và . C/m : vecto GA +vectoGB+vectoGC+vectoGD+vectoHA+vectoHB+vectoHC+vectoHD=vecto 0
=========================================================
HELP với mn!!

Akai Haruma
4 tháng 9 2017 lúc 0:20

Lời giải:

Ta chứng minh bổ đề sau: với tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm tam giác thì \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

Thật vậy:

Kéo dài $AG$ cắt $BC$ tại $G'$. Theo tính chất trọng tâm suy ra \(\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GA'}=0\)

\(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GA'}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BA'}\\ \overrightarrow{GA'}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CA'}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2\overrightarrow{GA'}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+(\overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{CA'})=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)

Do đó, \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)

Áp dụng vào bài toán, ta có:
\(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow X=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{HB}\)

\(\Leftrightarrow X=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{GB}\)

Gọi \(T'\) là trung điểm của $AC$ thì $D,H,T'$ thẳng hàng và $B,G,T'$ thẳng hàng hay cả $6$ điểm thẳng hàng

Do đó \(\overrightarrow{HD},\overrightarrow{GB}\) là hai vector cùng phương, ngược hướng (theo chiều vẽ)

Mặt khác dễ thấy tam giác $ADC$ và $CBA$ là hai tam giác bằng nhau, lại có hai trọng tâm lần lượt là \(H,G\) nên \(DH=BG\)

Như vậy. \(\overrightarrow{HD}=-\overrightarrow{GB}\Leftrightarrow \overrightarrow{HD}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow X=\overrightarrow{0}\)

Ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
5.Trần Nguyên Chương
Xem chi tiết
Gia Hân
Xem chi tiết
halinh
Xem chi tiết
mina
Xem chi tiết
Ngọc Trần
Xem chi tiết
khong có
Xem chi tiết
khong có
Xem chi tiết
khong có
Xem chi tiết
Hồ Quốc Khánh
Xem chi tiết