Question

Cho hàm số \(y=\dfrac{x-2}{x+1}\) và điểm I(-1;1) . Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết khoảng cách từ điểm I đến tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất

Answer 1

\(y'=\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến tại \(M\left(m;\dfrac{m-2}{m+1}\right)\) có dạng:

\(y=\dfrac{3}{\left(m+1\right)^2}\left(x-m\right)+\dfrac{m-2}{m+1}\)

\(\Leftrightarrow3x-\left(m+1\right)^2y+m^2-4m-2=0\)

\(P=d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|6m+6\right|}{\sqrt{9+\left(m+1\right)^4}}=\dfrac{6}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+\dfrac{9}{\left(m+1\right)^2}}}\le\dfrac{6}{\sqrt{2\sqrt{\dfrac{9\left(m+1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}}}}=\sqrt{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left(m+1\right)^2=\dfrac{9}{\left(m+1\right)^2}\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2=3\Rightarrow m=\) ... lại xấu :)