Question

Cho hàm số y=\(\dfrac{sin^2x}{cosx\left(sinx-cosx\right)}+\dfrac{1}{4}\) với x thuộc \(\left(\dfrac{\text{π}}{4};\dfrac{\text{π}}{2}\right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Answer 1

y = \(\dfrac{sin^2x}{cosx\left(sinx-cosx\right)}+\dfrac{1}{4}\)

y = \(\dfrac{sin^2x}{sinx.cosx-cos^2x}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{\dfrac{sin^2x}{cos^2x}}{\dfrac{sinx.cosx}{cos^2x}-1}+\dfrac{1}{4}\)

y = \(\dfrac{tan^2x}{tanx-1}+\dfrac{1}{4}\)

y = \(\dfrac{4tan^2x+tanx-1}{4tanx-4}\). Đặt t =  tanx. Do x ∈ \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right)\) nên t ∈ (1 ; +\(\infty\))\

Ta đươc hàm số f(t) = \(\dfrac{4t^2+t-1}{4t-4}\)

⇒ ymin = \(\dfrac{17}{4}\) khi t = 2. hay x = arctan(2) + kπ