Question

Cho hàm số y=2sin2x có đồ thị (C₁) và hàm số y=-2cos2x+1 có đồ thị (C₂). Phép tịnh tiến theo vecto v=(a;b) biến (C₁) thành (C₂) với 0<a,b<3. Tính giá trị biểu thức P=4ab

Answer 1

Lấy \(A\left(0;0\right)\) và \(B\left(\dfrac{\pi}{4};2\right)\) là 2 điểm thuộc (C1)

Gọi C và D lần lượt là ảnh của A và B qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\) \(\Rightarrow C;D\in\left(C_2\right)\)

Theo công thức phép tịnh tiến:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}C\left(a;b\right)\\D\left(a+\dfrac{\pi}{4};b+2\right)\end{matrix}\right.\)

Do \(C;D\in\left(C_2\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2cos\left(2a\right)+1=b\\-2cos\left(2a+\dfrac{\pi}{2}\right)+1=b+2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-2cos2a+2cos\left(2a+\dfrac{\pi}{2}\right)+2=0\)

\(\Leftrightarrow cos\left(2a\right)+sin\left(2a\right)=1\)

\(\Leftrightarrow cos\left(2a-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2a-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\\2a-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\a=k\pi\end{matrix}\right.\)

Do \(0< a< 3\Rightarrow a=\dfrac{\pi}{4}\) \(\Rightarrow b=-2cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+1=1\)

\(\Rightarrow P=\pi\)