Question

Cho hai số a, b không âm. Chứng minh :

a) Nếu \(a< b\) thì \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\)

b) Nếu \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\) thì \(a< b\)

(Bài tập này chứng minh định lí ở Bài 1, chương I, phần Đại số, SGK Toán 9, tập 1)

Answer 1

Answer 2

a) Vì a,b không âm nên căn có nghĩa.
Ta có: \(\sqrt{a}\) = \(a^2\) ; \(\sqrt{b}\) = \(b^2\)
Vì a < b nên \(a^2\) < \(b^2\)
=> \(\sqrt{a}\) < \(\sqrt{b}\) (dpcm)

b) Vì a, b không âm nên căn có nghĩa.
Ta có: \(\sqrt{a}\) < \(\sqrt{b}\) => \(\left(\sqrt{a}\right)^2\) < \(\left(\sqrt{b}\right)^2\) => a < b (dpcm)

Answer 3

Do a,b không âm và a<b nên b>0
=> \(\sqrt{a}\)+\(\sqrt{b}\) > 0 (1)

Mặt khác, ta có:
a-b=( \(\sqrt{a}\) +\(\sqrt{b}\))(\(\sqrt{a}\)-\(\sqrt{b}\)) (2)
Vì a<b nên a-b<0, từ (2) suy ra
( \(\sqrt{a}\) +\(\sqrt{b}\))(\(\sqrt{a}\)-\(\sqrt{b}\)) < 0 (3)
Từ (1) và (3), ta có:
\(\sqrt{a}\)-\(\sqrt{b}\) < 0 hay \(\sqrt{a}\)<\(\sqrt{b}\)