Question

Cho hai đường tròn (O;R) và (O;r) tiếp xúc ngoài tại A. Một đường thẳng (d) tiếp xúc với cả hai đường tròn trên tại B và C với B ∈ (O), C ∈ (O’).

a) Chứng minh tam giác ABC vuông

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O‘).

Answer 1

a/ta có : BC là tiếp tuyến chung của (O) và (O')

=>\(OB\perp BC;OC\perp BC\)

=>OB//O'C

=> góc BOA +góc CO'A=180^o(1)

ta lại có: góc CBA=1/2 góc BOA(cùng chắn cung BA)(2)

góc BCA =1/2 góc AO'C(3)

từ(1) ; (2) và (3)=> \(\widehat{CBA}+\widehat{BCA}=\frac{\widehat{BOA}+\widehat{CO'A}}{2}=\frac{180^o}{2}=90^o\)

tam giác BAC có:\(\widehat{CBA}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAC}=90^o\)

hay tam giác BAC vuông tại A(đpcm)

b/ tam giác BOA cân tại O (vì OB=OA=R) có:

góc OBA =góc OAB(1')

tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM (do M là trung điểm của BC) có: AM=BM=BC/2

=> tam giác AMB cân tại M

=> góc MAB = góc MBA (2')

từ (1') và (2') ta có: \(\widehat{OBA}+\widehat{ABM}=\widehat{OAB}+\widehat{BAM}\)

Hay \(\widehat{OAM}=90^o\Leftrightarrow OA\perp AM\)

mà A thuộc (O)

=> AM là tiếp tuyến của đường tròn tâm O(*)

chứng minh tương tự: AM là tiếp tuyến của đường tròn(O')(2*)

từ (*) và (2*) ta có: AM là tiếp tuyến chung của đường tròn tâm (O) và (O')(đpcm)