Question

Cho góc nhọn xOy. Trên Ox lấy 2 điểm A, B và trên Oy lấy 2 điểm C, D sao cho OA= OC, OB= OD. Gọi I là giao điểm của AD và CB. Chứng minh rằng:

a) BC=AD

b) Tam giác IAC cân, tam giác IDB cân

c) OI là tia phân giác của góc xOy

Answer 1

Giải

a) Qua O kẻ Oi là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)

Xét \(\Delta OCI\) và \(\Delta OAI\), ta có:

\(OA=OC\) ( gt )

\(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\) ( Vì Oi là tia phân giác \(\widehat{xOy}\) )

\(Oi\) là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta OAI=\Delta OCI\) ( c.g.c )

\(\Rightarrow CI=AI\) ( 2 cạnh tương ứng )

Xét \(\Delta OBI\) và \(\Delta ODI\), ta có:

\(OB=OD\) ( gt )

\(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\) ( gt )

\(Oi\) là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta OBI=\Delta ODI\) ( c.g.c )

\(\Rightarrow DI=BI\) ( 2 cạnh tương ứng )

Xét \(\Delta BIC\) và \(\Delta DIA\), ta có:

\(BI=DI\) ( chứng minh trên )

\(\widehat{BIC}=\widehat{DIA}\) ( đối đỉnh )

\(CI=AI\) ( chứng minh trên )

\(\Rightarrow\Delta BIC=\Delta DIA\) ( c.g.c )

\(\Rightarrow BC=AD\) ( 2 cạnh tương ứng )

b) Ta có: \(CI=AI\) ( chứng minh phần a )

\(\Rightarrow\Delta IAC\) là tam giác cân tại I

Ta lại có: \(BI=DI\) ( chứng minh phần a )

\(\Rightarrow\Delta BID\) là tam giác cân tại I

c) \(I\in Oi\)

Mà Oi là tia phân giác \(\widehat{xOy}\)

\(\Rightarrow\) OI là tia phân giác \(\widehat{xOy}\)